趣味数学故事_趣味数学——用折纸法画双曲线

前面我们用两篇文章的篇幅介绍了用折纸画抛物线，用折纸法画椭圆。我们自然会想，可以用折纸画双曲线吗？这也是可能的。前两篇文章内容摘自中学生数学图书馆。今天的文章是基于之前的内容。

如何用折纸画出双曲线

1：先准备一张纸，在纸上画一个圆O，在圆外取一点F。

2：用很相似的方法画一个椭圆，开始折纸，把圆折到一个角，使圆通过F点。

技术不好双曲线怎么画，图有点歪，请见谅，以后再看，哈哈。

我们显然知道做这种折的方法有很多种，每次有折痕，标记这些折痕，重复不同的折纸，只要圆每次都经过F点。这样你可以得到一系列折痕，你会发现它们会呈现双曲线轮廓，有些朋友可能会误认为是抛物线，因为你在这里得到的只是双曲线的一个分支。

接下来和之前一样，只需要画一条曲线，这条曲线只要和每条折痕相切就可以了！同样，我们应该证明为什么得到的曲线是双曲线？

折纸画双曲线原理的证明

下图是我们的样张图，相信看过前两篇文章的朋友已经很熟悉了。

我们首先要知道的是，如果我们以 F 点和 O 点为焦点，我们可以做一条双曲线。当然，双曲线不止一条。做一个关于F点折痕对称的M点。根据对称性，M点必须在圆O上，连接MO并延伸，与折痕P相交，P点为焦点。因为PF-PO=PM-PO=OM=r。也就是说双曲线怎么画，P点到O点与F点的距离之差是一个常数！这就是双曲线的定义，所以点 P 在双曲线 C 上。 另一方面，我们可以证明折痕上除了点 P 之外没有其他点满足这个条件，所以折痕是双曲线曲线。曲线的切线，多条切线围绕着双曲线，衬托出双曲线的轮廓。

与我们的折纸画椭圆不同，从我们的图表中可以看出，由于视野仅限于圆的内部，有些折痕与我们的双曲线不相切。其实他们是相切的，在圈外，所以大家做实验的时候都会出现这种情况。

是不是觉得通过折纸画椭圆和画双曲线的过程很相似？两者唯一的区别是椭圆的点F在圆内，而双曲线的点F在圆外，这就是两者的区别。两者之间似乎隐约存在某种关系，明天我会一起解释。